Qu’est-ce qu’une factorielle ?
La factorielle d’un entier naturel n se note n!. Elle correspond au produit de tous les entiers compris entre 1 et n.
Pour tout entier n ≥ 1 :
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1
Par convention, la factorielle de zéro vaut :
0! = 1
Formule pour calculer une factorielle
La formule directe consiste à multiplier successivement n par les entiers précédents :
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 1
On peut aussi utiliser la formule récurrente :
n! = n × (n − 1)!
Cette relation s’utilise avec la condition de départ 0! = 1.
Exemples de calcul
Calculer 3!
On multiplie 3 par les entiers précédents jusqu’à 1 :
3! = 3 × 2 × 1 = 6
Calculer 5!
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
5! = 120
Calculer 7!
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
7! = 5 040
Calculer 0!
La valeur de zéro est une exception définie par convention :
0! = 1
Premières valeurs de la factorielle
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5 040 |
| 8 | 40 320 |
| 9 | 362 880 |
| 10 | 3 628 800 |
À quoi sert la factorielle ?
En combinatoire, n! représente le nombre de façons d’ordonner n objets distincts. Par exemple, 3 objets peuvent être arrangés de 3! = 6 façons différentes.
La factorielle intervient également dans les permutations, les coefficients binomiaux, les probabilités et certaines formules d’analyse mathématique.
Erreurs fréquentes à éviter
- 5! signifie 5 × 4 × 3 × 2 × 1, et non simplement 5 × 4.
- 0! vaut 1, et non 0.
- La factorielle élémentaire s’applique aux entiers naturels n ≥ 0.
- n! ne doit pas être confondu avec n!!, qui désigne la double factorielle.
Résumé
Pour calculer une factorielle, multipliez tous les entiers de n jusqu’à 1. La formule est n! = n × (n − 1) × … × 1, avec 0! = 1. Par exemple, 6! = 720.
