Comment calculer une suite arithmétique ? Formules et exemples

Reconnaître une suite arithmétique

Une suite (u_n) est arithmétique lorsque la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée la raison, généralement notée r.

On a donc :

u_n+1 − u_n = r

ou, de manière équivalente :

u_n+1 = u_n + r

Exemple de reconnaissance

Considérons la suite 5, 8, 11, 14. Les différences sont :

8 − 5 = 3, 11 − 8 = 3 et 14 − 11 = 3.

Les différences étant constantes, il s’agit d’une suite arithmétique de raison r = 3.

Calculer la raison d’une suite arithmétique

Lorsque deux termes consécutifs sont connus, la raison se calcule ainsi :

r = u_n+1 − u_n

Si deux termes quelconques u_p et u_q sont connus, on utilise :

r = (u_q − u_p) / (q − p)

Par exemple, si u₃ = 10 et u₇ = 26, alors :

r = (26 − 10) / (7 − 3) = 16 / 4 = 4.

Calculer le terme général d’une suite arithmétique

Suite commençant par u₀

Si le premier terme connu est u₀, la formule du terme général est :

u_n = u₀ + nr

Suite commençant par u₁

Si le premier terme connu est u₁, on utilise :

u_n = u₁ + (n − 1)r

Formule à partir d’un terme quelconque

Si l’on connaît un terme u_p, on peut calculer directement u_n avec :

u_n = u_p + (n − p)r

Exemple de calcul d’un terme

On considère une suite arithmétique telle que u₁ = 7 et r = 3. Pour calculer u₁₀ :

u₁₀ = u₁ + (10 − 1)r

u₁₀ = 7 + 9 × 3 = 34

Le dixième terme est donc 34.

Calculer la somme des termes d’une suite arithmétique

Pour additionner des termes consécutifs, on utilise la formule :

Somme = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2

Somme de u₁ à u_n

La somme des n premiers termes, lorsque la suite commence à u₁, est :

S_n = u₁ + u₂ + … + u_n = n(u₁ + u_n) / 2

On peut aussi utiliser la raison :

S_n = n[2u₁ + (n − 1)r] / 2

Somme de u₀ à u_n

Lorsque la suite commence à u₀, il y a n + 1 termes :

S_n = u₀ + u₁ + … + u_n = (n + 1)(u₀ + u_n) / 2

Avec la raison, cette formule devient :

S_n = (n + 1)[2u₀ + nr] / 2

Somme de u_p à u_q

Entre les indices p et q, le nombre de termes est q − p + 1. La somme vaut donc :

∑_k=p^q u_k = (q − p + 1)(u_p + u_q) / 2

Exemple de somme

Pour la suite définie par u₁ = 7, r = 3 et u₁₀ = 34 :

S₁₀ = 10(7 + 34) / 2 = 205

La somme des dix premiers termes est donc 205.

Méthode rapide pour calculer une suite arithmétique

1. Repérez le premier terme connu : u₀, u₁ ou u_p.
2. Calculez la raison r.
3. Choisissez la formule du terme général correspondant à l’indice de départ.
4. Pour une somme, comptez précisément le nombre de termes, puis appliquez la formule « nombre de termes × moyenne du premier et du dernier terme ».