La formule pour calculer la longueur d’un arc de cercle
Un arc de cercle est une portion de la circonférence. Sa longueur correspond donc à la fraction de la circonférence déterminée par l’angle au centre.
Avec un angle en degrés
Lorsque l’angle au centre est exprimé en degrés, utilisez la formule suivante :
L = (α / 360) × 2πr
- L est la longueur de l’arc ;
- α est l’angle au centre en degrés ;
- r est le rayon du cercle ;
- 2πr est la circonférence complète.
Le rapport α / 360 indique la proportion du cercle occupée par l’arc.
Exemple avec un angle de 72°
Un cercle possède un rayon de 10 cm et l’arc correspond à un angle de 72°.
L = (72 / 360) × 2π × 10
L = 4π ≈ 12,57 cm
La longueur de l’arc est donc d’environ 12,57 cm.
Calculer une longueur d’arc avec un angle en radians
Lorsque l’angle est exprimé en radians, la formule est plus simple :
L = rθ
Dans cette formule, θ représente l’angle au centre en radians. Cette relation vient de la définition du radian : θ = L / r.
Exemple avec un angle de 3π/4 radians
Pour un cercle de rayon 8 cm et un angle de 3π/4 radians :
L = 8 × (3π / 4) = 6π ≈ 18,85 cm
La longueur de l’arc est donc d’environ 18,85 cm.
Convertir des degrés en radians
Pour utiliser la formule L = rθ, l’angle doit être exprimé en radians. La conversion s’effectue ainsi :
θ = α × π / 180
Par exemple :
72° × π / 180 = 2π / 5 radians
Avec un rayon de 10 cm :
L = 10 × 2π / 5 = 4π ≈ 12,57 cm
On obtient le même résultat qu’avec la formule en degrés.
Calculer la longueur d’un arc avec le diamètre
Si le diamètre d est connu, commencez par calculer le rayon :
r = d / 2
Vous pouvez aussi utiliser directement cette formule avec un angle en degrés :
L = (α / 360) × πd
Exemple
Un cercle a un diamètre de 20 cm et un arc de 90°.
L = (90 / 360) × π × 20 = 5π ≈ 15,71 cm
La longueur de l’arc est donc d’environ 15,71 cm.
Les vérifications à effectuer
- Utilisez l’angle au centre, et non un angle inscrit.
- Vérifiez si l’angle est donné en degrés ou en radians.
- Utilisez le rayon, ou divisez le diamètre par deux.
- Conservez une unité de longueur cohérente : cm, m, mm, etc.
- Pour un grand arc, utilisez l’angle correspondant au grand arc. Si le petit arc mesure 80°, le grand arc mesure 280°.
Pour un tour complet, α = 360° et la formule donne bien L = 2πr, c’est-à-dire la circonférence du cercle.
