Comment calculer l’aire d’un secteur circulaire ? Formule et exemples

La formule de l’aire d’un secteur circulaire

Un secteur circulaire est une portion de disque délimitée par deux rayons et un arc de cercle. Pour calculer son aire, il faut connaître le rayon du cercle et l’angle au centre.

Avec un angle en degrés

Si r désigne le rayon et α l’angle au centre en degrés, la formule est :

A = (α / 360) × π × r²

Cette formule utilise le fait qu’un cercle complet mesure 360° et possède une aire égale à πr². Le secteur représente donc la fraction α / 360 du disque.

Avec un angle en radians

Si l’angle θ est exprimé en radians, utilisez directement la formule :

A = ½ × r² × θ

Il ne faut pas remplacer directement θ par une mesure en degrés. Pour convertir un angle de α degrés en radians, appliquez :

θ = α × π / 180

Comment calculer l’aire étape par étape ?

1. Identifiez le rayon r du cercle.
2. Repérez l’angle au centre, c’est-à-dire l’angle dont le sommet se trouve au centre du cercle.
3. Vérifiez si l’angle est exprimé en degrés ou en radians.
4. Choisissez la formule correspondante.
5. Effectuez le calcul et indiquez le résultat en unités carrées : cm², m², etc.

Exemples de calcul

Exemple 1 : un secteur de 90° et de rayon 10 cm

On connaît α = 90° et r = 10 cm. L’aire vaut :

A = (90 / 360) × π × 10²

A = 25π ≈ 78,54 cm²

Un angle de 90° correspond à un quart de cercle : le secteur représente donc un quart de l’aire du disque.

Exemple 2 : un secteur de 120° et de rayon 5 cm

Avec α = 120° et r = 5 cm :

A = (120 / 360) × π × 5²

A = 25π / 3 ≈ 26,18 cm²

Exemple 3 : un angle de π/2 radians et un rayon de 10 cm

Lorsque θ = π/2 et r = 10 cm, utilisez la formule en radians :

A = ½ × 10² × π/2

A = 25π ≈ 78,54 cm²

C’est le même secteur que celui de l’exemple 1, car 90° = π/2 radians.

Les erreurs à éviter

• Utiliser l’angle au mauvais endroit : il doit s’agir de l’angle au centre.
• Employer la formule en radians avec une valeur exprimée en degrés.
• Confondre le rayon et le diamètre. Si seul le diamètre est donné, utilisez r = diamètre / 2.
• Oublier de mettre le rayon au carré.
• Exprimer l’aire dans une unité simple au lieu d’une unité carrée.