La formule de l’interpolation linéaire
On connaît deux points :
- Point 1 : (x1, y1)
- Point 2 : (x2, y2)
Pour déterminer la valeur y correspondant à une valeur x située entre x1 et x2, utilisez la formule suivante :
y = y1 + [(x − x1) × (y2 − y1)] ÷ (x2 − x1)
On peut aussi utiliser une forme en deux étapes :
t = (x − x1) ÷ (x2 − x1)
puis :
y = y1 + t × (y2 − y1)
Le coefficient t représente la proportion de la distance parcourue entre les deux valeurs de x.
Comment calculer une interpolation linéaire en 4 étapes
- Identifiez les deux points connus : (x1, y1) et (x2, y2).
- Calculez la position relative de x avec la formule t = (x − x1) ÷ (x2 − x1).
- Calculez l’écart entre y1 et y2.
- Ajoutez à y1 la proportion correspondante de cet écart.
Exemples d’interpolation linéaire
Exemple 1 : calcul simple entre deux points
On connaît les points suivants :
- (x1, y1) = (2, 5)
- (x2, y2) = (6, 13)
On cherche la valeur de y pour x = 4.
Calcul de la proportion :
t = (4 − 2) ÷ (6 − 2) = 2 ÷ 4 = 0,5
La valeur recherchée se trouve donc à mi-chemin entre les deux points.
Calcul de y :
y = 5 + 0,5 × (13 − 5)
y = 5 + 4 = 9
Résultat : y = 9.
Exemple 2 : interpolation d’une température
Un certificat indique les correspondances suivantes :
| Température indiquée | Température réelle |
|---|---|
| 20,00 °C | 20,20 °C |
| 30,00 °C | 30,25 °C |
On souhaite estimer la température réelle pour une température indiquée de 26,50 °C.
On pose :
- x1 = 20,00 ; y1 = 20,20
- x2 = 30,00 ; y2 = 30,25
- x = 26,50
Application de la formule :
y = 20,20 + [(26,50 − 20,00) × (30,25 − 20,20)] ÷ (30,00 − 20,00)
y = 20,20 + (6,50 × 10,05) ÷ 10,00
y = 20,20 + 6,5325 = 26,7325
Après arrondi à deux décimales, la température réelle est donc de 26,73 °C.
Exemple 3 : valeur située à 25 % de l’intervalle
On connaît les points :
- (x1, y1) = (100, 40)
- (x2, y2) = (200, 80)
On cherche la valeur correspondant à x = 125.
t = (125 − 100) ÷ (200 − 100) = 25 ÷ 100 = 0,25
Ensuite :
y = 40 + 0,25 × (80 − 40)
y = 40 + 10 = 50
Résultat : y = 50. La valeur 125 se situe à 25 % de l’intervalle entre 100 et 200 ; on applique donc 25 % de l’écart entre 40 et 80.
Conditions et erreurs à éviter
- x1 et x2 doivent être différents : sinon le dénominateur est nul.
- La valeur x doit normalement être comprise entre x1 et x2 : en dehors de cet intervalle, il s’agit d’une extrapolation linéaire.
- Les unités doivent être cohérentes : utilisez la même unité pour les valeurs de x et la même unité pour les valeurs de y.
- Conservez les décimales pendant le calcul : arrondissez de préférence uniquement le résultat final.
- Vérifiez l’hypothèse de linéarité : l’interpolation donne une estimation moins fiable si l’évolution réelle suit une courbe prononcée.
À retenir
Pour calculer une interpolation linéaire entre deux valeurs, déterminez d’abord la proportion de progression entre x1 et x2, puis appliquez cette proportion à l’écart entre y1 et y2.
Formule à retenir : y = y1 + [(x − x1) × (y2 − y1)] ÷ (x2 − x1)
