Les données utilisées dans les exemples
Pour illustrer les calculs, partons de la série suivante :
2, 7, 3, 12, 9
Pour calculer la médiane, il faut d’abord classer les valeurs dans l’ordre croissant :
2, 3, 7, 9, 12
Comment calculer une moyenne ?
La moyenne arithmétique correspond à la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs.
Formule de la moyenne
Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs
Exemple
Avec les valeurs 2, 7, 3, 12 et 9 :
Moyenne = (2 + 7 + 3 + 12 + 9) ÷ 5
Moyenne = 33 ÷ 5 = 6,6
La moyenne de cette série est donc 6,6.
La moyenne prend en compte toutes les valeurs. En revanche, elle peut être fortement influencée par une valeur exceptionnellement élevée ou faible, comme un revenu très important dans une série de salaires.
Comment calculer une médiane ?
La médiane est la valeur qui sépare une série ordonnée en deux parties. Au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
Avec un nombre impair de valeurs
- Classez les valeurs dans l’ordre croissant.
- Repérez la valeur située au centre.
Pour la série 2, 3, 7, 9, 12, la valeur centrale est 7.
La médiane est donc 7.
Lorsque le nombre de valeurs est impair, le rang de la médiane se calcule avec la formule :
(n + 1) ÷ 2
Dans cet exemple, (5 + 1) ÷ 2 = 3 : la médiane est la troisième valeur.
Avec un nombre pair de valeurs
Lorsqu’une série comporte un nombre pair de valeurs, les deux valeurs centrales sont utilisées. Il faut calculer leur moyenne.
Exemple : 2, 3, 7, 9, 12, 15
Les deux valeurs centrales sont 7 et 9 :
Médiane = (7 + 9) ÷ 2 = 8
La médiane est donc 8.
La médiane est généralement moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne. Elle est donc souvent plus représentative lorsque les données sont très asymétriques.
Comment calculer un écart-type ?
L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Plus il est faible, plus les valeurs sont regroupées. Plus il est élevé, plus elles sont éloignées de la moyenne.
Calcul de l’écart-type d’une population complète
Pour calculer l’écart-type d’une population complète :
- Calculez la moyenne.
- Soustrayez la moyenne de chaque valeur.
- Élevez chaque écart au carré.
- Additionnez les écarts au carré.
- Divisez la somme par le nombre de valeurs.
- Calculez la racine carrée du résultat.
La formule est :
σ = √[Σ(xᵢ − moyenne)² ÷ n]
Dans cette formule, xᵢ désigne une valeur, n le nombre de valeurs et σ l’écart-type de la population.
Exemple détaillé
Pour la série 2, 7, 3, 12, 9, la moyenne est 6,6.
| Valeur | Écart à la moyenne | Écart au carré |
|---|---|---|
| 2 | −4,6 | 21,16 |
| 7 | 0,4 | 0,16 |
| 3 | −3,6 | 12,96 |
| 12 | 5,4 | 29,16 |
| 9 | 2,4 | 5,76 |
La somme des écarts au carré est :
21,16 + 0,16 + 12,96 + 29,16 + 5,76 = 69,20
La variance est :
69,20 ÷ 5 = 13,84
L’écart-type est donc :
√13,84 ≈ 3,72
L’écart-type de la population est d’environ 3,72.
Faut-il diviser par n ou par n − 1 ?
Le dénominateur dépend de la nature des données.
Si les données représentent une population complète
Divisez par n :
σ = √[Σ(xᵢ − moyenne)² ÷ n]
Dans notre exemple, le résultat est d’environ 3,72.
Si les données sont un échantillon
Si la série sert à estimer une population plus large, on utilise généralement n − 1 :
s = √[Σ(xᵢ − moyenne)² ÷ (n − 1)]
Dans notre exemple :
s = √(69,20 ÷ 4) ≈ 4,16
Dans un tableur ou un logiciel statistique, vérifiez donc si la fonction utilisée calcule l’écart-type d’une population ou celui d’un échantillon.
Quelle différence entre moyenne, médiane et écart-type ?
- Moyenne : indique le niveau moyen et utilise toutes les valeurs.
- Médiane : indique la valeur centrale après classement.
- Écart-type : mesure la dispersion autour de la moyenne.
La moyenne et l’écart-type sont sensibles aux valeurs extrêmes. La médiane l’est beaucoup moins. Pour une série très asymétrique ou contenant des valeurs atypiques, l’écart interquartile peut être plus adapté pour mesurer la dispersion.
Exemple de choix de l’indicateur
Supposons les revenus mensuels suivants : 1 500 €, 1 600 €, 1 700 €, 1 800 € et 10 000 €.
Le revenu de 10 000 € augmente fortement la moyenne. La médiane, qui correspond au revenu central après classement, décrit alors souvent mieux la situation typique. L’écart-type permet ensuite de quantifier l’importante dispersion des revenus autour de la moyenne.
